INTEGRAL TRIGONOMETRI ( PANGKAT GANJIL, GENAP, DAN LANJUTAN )

 nah, sakarang kita bahas integral trigonometri yang sederhana dulu, seperti :

-          PANGKAT GENAP

Contoh :

ʃ sin ² x dx = ʃ ½ (1-cos 2x) dx                         

                   = ½ ʃ 1- cos 2x dx  
                                                          

                  = ½ (x-1/2 sin 2x) + C   
                                 

cos 2x   = cos ² x – sin ² x

   = 1- 2 sin ² x

       2 sin² x  = 1- cos 2x 
          Sin² x = ½ (1-cos 2x)
                                                                         

-          PANGKAT GANJIL

Contoh :

ʃcos⁵ x dx = ʃ cos⁴ x . cos x dx  
                        

                 = ʃ ( 1 - sin² x)² . cos x dx     
                             

                  = ʃ (1 - 2sin² x + sin⁴ x ). Cos x dx     
             

            Missal: u=sin x                                                 

                        du = cos x dx

                  = ʃ 1 – 2u² + u⁴ du  

                                                       

                  = u – 2/3 u + 1/5 u⁵ + C

                  = sin x – 2/3 sin³ x + 1/5 sin⁵ x + C
cos² x + sin² x = 1
    cos² x = 1- sin² x
   (cos² x)² = (1- sin² x)²
  cos⁴ x = (1- sin² x)²

 

-          PANGKAT LANJUTAN

Contoh :

ʃ Sin⁵ x . cos^-3 x dx  (syarat salah satu pangkat harus ganjil positif)

= ʃsin⁴ x. cos^-3 x. sin x dx

= ʃ (1 – cos² x )² . cos^-3x. sin x dx

= ʃ (cos^-3 x – 2 cos ^-1 x + cos x ) . sin x dx

Missal :         u = cos x

                        du = -sin x dx

= ʃ u^-3 – 2 u^-1 + u du

= - ʃ (-1/2 u^-2 – 2 |ln u| + ½ u²) + C

= ½ cos^-2 x + 2 |ln cos x| - ½ cos² x + C

Contoh lain :

ʃsin² x. cos² x dx (kedua pangkat harus genap positif) 

= ʃ1/2 (1- cos 2x ) . ½ (1+cos 2x) dx

=1/4 ʃ 1- cos² 2x dx

=¼ ʃ ½ (1 – cos 4x) dx

=1/8 ʃ 1 – cos 4x dx

=1/8 (x – ¼ sin 4x ) + C

selamat berlatih :))